Bài viết này của Manta.edu.vn sẽ cung cấp cho bạn tất cả những kiến thức tổng quan về Hàm số bậc nhất. Bên cạnh đó là những dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm.
Hàm số bậc nhất là gì?
Lý thuyết Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là hàm được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a,b là các số đã cho và a≠0. Và khi b = 0 Hàm số bậc nhất có dạng y = ax, biểu thị mối quan hệ tỷ lệ thuận giữa y và x.
Các tính năng cần nhớ:
Hàm số bậc nhất y = ax + b được xác định cho mọi giá trị của x trong R và có thuộc tính sau:
-
Đồng biến trên R nếu a>0
-
Nghịch đảo trên R nếu a<0
Các dạng bài tập cơ bản thường gặp
Dạng 1: Xác định Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất là một hàm có dạng y = ax + b (a≠0).
Ví dụ: Với điều kiện nào của m thì Hàm số bậc nhất của hàm số nào sau đây ?
a) y = (m-1)x + m
b) y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m
c) y = √(m2-1).x + 2 .
Hướng dẫn giải:
a) y = (m-1)x + m là Hàm số bậc nhất
y = (m-1)x + m ⇔ m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.
Vậy với mọi m ≠ 1, hàm số y = (m – 1)x + m là Hàm số bậc nhất.
b) y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m là Hàm số bậc nhất
y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m
⇔ m – 3 = 0 m = 3
Vậy với m = 3, hàm số y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m là Hàm số bậc nhất là Hàm số bậc nhất.
c) y = (m2-1).x + 2 là Hàm số bậc nhất
⇔ √(m2-1) ≠ 0 ⇔ m2 – 1 > 0 ⇔ m > 1 hoặc m < -1.
Vậy với m > 1 hoặc m < -1, hàm số y = √(m2-1).x + 2 là Hàm số bậc nhất.
Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến và nghịch biến
Ta có Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a≠0)
-
Đồng biến trên R nếu a>0
-
Nghịch đảo trên R nếu a<0
Ví dụ: Tìm a của hàm số sau:
a) y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R.
b) y = (m2 – m).x + m nghịch biến trên R.
Hướng dẫn giải:
a) y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R
y = (a + 2)x + 3 ⇔ a + 2 > 0 ⇔ a > -2.
Vậy với mọi a > -2, hàm số y = (a + 2)x + 3 đồng biến trên R.
b) y = (m2 – m)x + m nghịch đảo của r
y = (m2 – m)x + m ⇔ m2 – m < 0 ⇔ m(m – 1) < 0 ⇔ 0 < m < 1.
Vậy với 0 < m < 1, hàm số y = (m2 – m)x + m nghịch biến trên R.
Vẽ đồ thị Hàm số bậc nhất
Lý thuyết Hàm số bậc nhất và đồ thị
Đồ thị của hàm số y = ax + b, (a≠0) là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tọa độ bằng b, song song với đường thẳng y = ax nếu b≠0 và trùng với đường thẳng y = ax nếu b=0.
Chú ý đồ thị Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a≠0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b, b được gọi là gốc tọa độ của đường thẳng.
Cách vẽ đồ thị Hàm số bậc nhất
Trường hợp 1:
Khi b = 0 thì y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0) và điểm A(1;a) đã biết.
Trường hợp 2: Xét y = ax với a khác 0 và b khác 0.
Ta đã biết đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng nên về nguyên tắc ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
-
Cách đầu tiên:
-
Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị, ví dụ:
-
Gọi x = 1 tính y = a + b ta có điểm A ( 1; a+b)
-
Đặt x = -1 tính y = -a + b ta được điểm B (-1 ; -a + b)
-
-
Cách thứ hai:
-
Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:
-
Đặt x = 0 tính y = b ta được điểm C(-b/a;0)
-
Cho y = 0 tính x = -b/a ta có điểm D(-b/a; 0)
-
Vẽ đường thẳng qua A, B hoặc C, D ta được đồ thị hàm số y = ax + b
-
Dạng đồ thị của hàm số y = ax + b ( a≠0)
-
Trường hợp 3: Khi b khác 0
Ta cần xác định hai điểm phân biệt bất kỳ trên đồ thị.
Bước 1: Cho x = 0 => y = b. Ta được điểm P(0;b)∈Oy.
Cho y = 0 => x = −ba. Ta được Q(−ba;0)∈0x.
Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị của hàm số y = ax + b.
Bài tập vẽ đồ thị hàm số thường gặp có nghiệm
Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2
Hướng dẫn giải:
Chúng ta có:
x = 0 y = 2
x = −1 y = 1
→ Đồ thị hàm số y = x + 2 đi qua 2 điểm (0;2) và (−1;1).
Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x−3
Hướng dẫn giải:
Chúng ta có:
x = 0 ⇒ y = −3
x= 3 y = 0
→ Đồ thị hàm số y = x − 3 đi qua 2 điểm (0;−3) và (3,0).
Biến thể của Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất đồng biến và nghịch đảo
Xác định hiệp biến Hàm số bậc nhất khi nào? Và khi nào thì ngược lại? thường dễ dẫn đến nhầm lẫn trong quá trình ghi nhớ của học sinh. Đặc biệt là các bạn học sinh cấp 3 và có rất nhiều công thức cần học thuộc lòng. Vậy hãy cùng Manta.edu.vn ôn lại định nghĩa biến thể của Hàm số bậc nhất dưới đây nhé!
Hàm số bậc nhất y = ax + b (a≠0) có tập xác định D = R, đồng biến trên R nếu a > 0 và nghịch biến trên R nếu a < 0.
Bảng biến thiên của Hàm số bậc nhất:
Các dạng bài tập về sự biến thiên của Hàm số bậc nhất
Bài tập 1: Tìm k để các hàm số sau
a, y= 5x – (2-x)k đồng biến, nghịch biến.
b, y= (k2 – 4)x – 2 đồng biến.
c, y= (-k2 + k – 1)x – 7 nghịch đảo.
d, y= (4 – 4k + k2)x + 2 đồng biến.
Hướng dẫn giải:
a, y= 5x – (2-x)k = 5x – 2k + kx = (5+k)x – 2k
Vậy hàm có hệ số a= 5+k. Sau đó:
-
Hàm đồng biến a > 0 5 + k > 0 k > -5
-
Hàm nghịch đảo a < 0 ⇔ 5 + k < 0 ⇔ k < -5.
Bài tập 2: Cho hàm số 
. Với giá trị nào của m :
a, Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất
b, Hàm số đã cho là đồng biến
c, Hàm số đã cho nghịch biến
Hướng dẫn giải:
Hàm số đã cho có hệ số a= 3 – √(m+2).
a, Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ 3 – (m+2) ≠ 0 √(m+2) 3
⇔ m + 2 9 m 7
Vì vậy, m 7
b, Hàm số đã cho đồng biến khi a > 0 ↔ 3 – (m+2) > 0 √(m+2) < 3
0 m + 2 < 9 -2 m < 7
Vậy -2 m < 7
c, Hàm số đã cho nghịch biến khi a < 0 3 – (m+2) < 0 √(m+2) > 3
⇔ m + 2 >; 9 m > 7
Vậy m > 7
Trên đây là toàn bộ kiến thức về Hàm số bậc nhất mà Manta.edu.vn đã tổng hợp cho các bạn. Hi vọng với những chia sẻ thiết thực này sẽ giúp các bạn có một hành trang vững vàng hơn trong kỳ thi sắp tới. Xin được ở bên bạn!
