Cực trị của hàm số là một trong những phần quan trọng của kiến thức đại số cấp 3. Nhằm giúp các em học sinh dễ dàng nắm bắt và vận dụng kiến thức này hơn. manta.edu.vn đã tổng hợp tất cả các khái niệm và cách tìm cực trị của hàm số thường gặp ngay dưới đây.
lý thuyết Cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm đạt được c. Trong hình học, nó đại diện cho khoảng cách tối đa hoặc tối thiểu từ điểm này đến điểm khác .
1. Định nghĩa
Giả sử hàm f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K .
-
x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{ x0} . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f.
-
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0} . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f.
Một số lưu ý chung:
-
Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung là điểm cực trị. Giá trị lớn nhất (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.
-
Tổng quát, giá trị lớn nhất (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (cực tiểu) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a;b) chứa x0.
-
Nếu x0 là điểm Cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị
Hàm số có cực trị khi nào? Để hàm số đạt cực đại tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (gồm: điều kiện cần và đủ).
điều kiện tiên quyết
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.
Một số lưu ý chung:
-
Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm f không có cực đại tại điểm x0.
-
Hàm số có thể đạt cực đại tại điểm mà hàm số không có đạo hàm.
điều kiện đủ
Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
-
Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
-
Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
-
Nếu f”(x0) = 0 thì chưa kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Hướng dẫn cách tìm cực trị của một số hàm số thường gặp
Mỗi hàm có một tính chất và cách tìm cực trị khác nhau. Ngay sau đây, manta.edu.vn sẽ giới thiệu đến các bạn cách tính Cực trị của hàm số thường gặp nhất trong các đề thi thường gặp.
đặt hàng Cực trị của hàm số 2
Hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.
-
y’ đổi dấu khi x vượt qua x0 = -b/2a
-
Hàm số đạt cực đại tại x0 = -b/2a
thứ tự Cực trị của hàm số 3
Hàm số bậc hai có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.
-
‘ ≤ 0 : y’ không đổi dấu → hàm số không có cực trị
-
Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần → hàm số có 2 cực trị (1 CI và 1 CT)
Cách tìm đường thẳng đi qua hai hình lập phương Cực trị của hàm số:
Ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x).
Giả sử hàm số đạt cực đại tại x1 và x2
Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0
Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f'(x2) = 0
Kết luận: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D
Cực trị của hàm số bậc hai (Hàm bình phương)
Hàm số bậc hai có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y ‘ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.
-
Khi -b/2a ≤ 0 <=> b/2a ≥ 0 , y’ chỉ đổi dấu một lần khi x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực đại tại xo = 0
-
Khi -b/2a > 0 <=> b/2a < 0 thì y’ đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 cực trị
lượng giác Cực trị của hàm số
Phương pháp tìm lượng giác Cực trị của hàm số như sau:
-
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
-
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
-
Bước 3: Sau đó, chúng ta tìm đạo hàm y”.
-
Tính y”(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
-
logarit Cực trị của hàm số
Chúng ta cần làm theo các bước sau:
-
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
-
Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
-
Bước 3: Xem xét hai khả năng:
-
Tìm đạo hàm y”.
-
Tính y”(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 3.
-
Nếu dấu của y’ được xét: Sau đó: lập bảng biến thiên rồi rút ra kết luận dựa trên định lý 2.
-
Nếu dấu của y’ không xét được: Khi đó:
-
Các dạng bài tập thường gặp
Bởi các bài toán cực trị thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm. Nắm bắt được tình hình chung, manta.edu.vn đã tổng hợp 3 dạng đề thường gặp liên quan đến Cực trị của hàm số giúp các bạn ôn tập dễ dàng hơn.
Dạng 1: Tìm giao điểm Cực trị của hàm số
Có 2 cách giải bài tìm điểm Cực trị của hàm số các em có thể theo dõi ngay bên dưới.
Cách 1:
-
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
-
Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
-
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
-
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
-
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
-
Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i=1,2,3,…) là nghiệm của nó.
-
Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi ) .
-
Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ:
Tìm Cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D=R.
Tính y’ = 6x^2 – 6. Cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y = -2.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm
Phương pháp giải:
Ở dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Sau đó, để giải quyết vấn đề này, chúng tôi tiến hành theo hai bước.
-
Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số.
-
Bước 2: Kiểm tra bằng một trong hai quy tắc tìm cực trị, xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?
Ví dụ:
Cho hàm y = x^3 – 3mx^2 +(m^2 – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R. Tính y’=3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y” = 6x – 6m.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 →
⇔m=1.
Dạng 3: Biện luận theo m số Cực trị của hàm số
cho khối Cực trị của hàm số
Cho hàm y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0 . Khi đó ta có: y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b^2 – 3ac.
-
Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.
-
Hàm số bậc 3 không có cực trị b^2 – 3ac 0
-
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có hai cực trị.
-
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị b^2 – 3ac > 0
Đối với bậc bốn Cực trị của hàm số
Cho hàm số: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). Khi đó ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.
-
(C) có 1 điểm cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
-
(C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Ví dụ:
Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 vừa có cực đại, vừa có cực tiểu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: y’ = 3×2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.
Một số bài tập tự tìm Cực trị của hàm số
Đáp án các bài tập trên là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9Đ; 10B; 11C.
Trên đây là toàn bộ những kiến thức về Cực trị của hàm số mà manta.edu.vn muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào trong việc chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.
